Sequência de Fibonacci

Na matemática, a Sucessão de Fibonacci (também Sequência de Fibonacci), é uma sequência de números inteiros, começando normalmente por 0 e 1, na qual, cada termo subsequente corresponde à soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci , que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos, a partir desta. Esta sequência já era no entanto, conhecida na antiguidade.

Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência (sequência A000045 na OEIS):

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

Dentre todos os mistérios da Matemática, a sequência de Fibonacci é considerada uma das mais fascinantes descobertas da história. A sequência de números proposta pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, possui o numeral 1 como o primeiro e o segundo termo da ordem, e os elementos seguintes são originados pela soma de seus dois antecessores, observe:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181…

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo o primeiro termo F1= 1:
{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},}svgsvgsvg
svg

A sequência de Fibonacci tem aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos. Também aparece em configurações biológicas, como, por exemplo, na disposição dos galhos das árvores ou das folhas em uma haste,[3] no arranjo do cone da alcachofra, do abacaxi,[4] ou no desenrolar da samambaia.

Origens
No ocidente, a sequência de Fibonacci apareceu pela primeira vez no livro Liber Abaci (1202) de Leonardo Fibonacci,[6] embora ela já tivesse sido descrita por gregos e indianos.[7][8][9] Fibonacci considerou o crescimento de uma população idealizada (não realista biologicamente) de coelhos. Os números descrevem o número de casais na população de coelhos depois de n meses se for suposto que:

Ilustração representativa da série de Fibonacci, demonstrando o crescimento populacinals de coelhos (carregando ovos de páscoa).

  • no primeiro mês nasce apenas um casal,
  • casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
  • não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo,
  • todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
  • os coelhos nunca morrem.

Mas genericamente, chama-se sequência de Fibonacci qualquer função g tal que g(n + 2) = g(n) + g(n + 1). Essas funções são precisamente as de formato g(n) = aF(n) + bF(n + 1) para alguns números a e b, então as sequências de Fibonacci formam um espaço vetorial com as funções F(n) e F(n + 1) como base.

Em particular, a sequência de Fibonacci com F(1) = 1 e F(2) = 3 é conhecida como a sequência de Lucas. A importância dos números de Lucas L(n) reside no fato deles gerarem a Proporção áurea para as n-ésimas potências:

Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci e descobrir, por exemplo, quantos coelhos foram gerados no sexto mês, basta aplicar a fórmula descrita acima até chegar ao ponto inicial de 1 e 1, como mostra a figura abaixo:

Ou seja, no sexto mês foram gerados 8 coelhos.

  • F(6) = (F(6 – 1)) + (F(6 – 2)) = 5 e 4 → 8 ( Soma do Resultado de F(5) e F(4) )
  • F(5) = (F(5 – 1)) + (F(5 – 2)) = 4 e 3 → 5 ( Soma do Resultado de F(4) e F(3) )
  • F(4) = (F(4 – 1)) + (F(4 – 2) ) = 3 e 2 → 3 ( Soma do Resultado de F(3) e F(2) )
  • F(3) = (F(3 – 1)) + (F(3 – 2))= 2 e 1 → 2
  • F(2) = (F(2 – 1)) + (F(2 – 2)) = 1 e 0 → 1

e a primeira posição 1.

Note que a sequência de Fibonacci esta no resultado de cada posição: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Representações alternativas

Para analisar a sequência de Fibonacci (e, em geral, quaisquer sequências) é conveniente obter outras maneiras de representá-la matematicamente.

Observação: os números da sequência também podem ser calculados por:

Observe que não é possível reduzir essa expressão à fórmula de recorrência

apesar de ambas fornecerem o mesmo resultado na sequência de Fibonacci.

Função geradora

Uma função geradora para uma sequência qualquer é a função

ou seja, uma série potências formais em que cada coeficiente é um elemento da sequência. Os números de Fibonacci possuem a seguinte função geradora Quando se expande esta função em potências de X os coeficientes são justamente os termos da sequência de Fibonacci:

Fórmula explícita

Conforme mencionado por Johannes Kepler, a taxa de crescimento dos números de Fibonacci, que ésvg

F n + 1 / F n , {\textstyle F_{n+1}/F_{n},} tende à Proporção áurea, denotada por ϕ {\textstyle \phi } ϕ = 1 + 5 2 ≈ 1 , 61803398875. Em outras palavras, lim n → ∞ ( F n + 1 F n ) = ϕ = 1 + 5 2 = 1 , 61803398875. (De um modo mais geral, lim n → ∞ ( F n + k F n ) = ϕ k .  ) Esta é a raiz positiva da equação de segundo grau x² − x − 1 = 0, então φ² = φ + 1. Se multiplicarmos ambos os lados por φn, teremos φn+2 = φn+1 + φn, então a função φn é uma sequência de Fibonacci. É possível demonstrar que a raiz negativa da mesma equação, 1 − φ, tem as mesmas propriedades, então as duas funções φn e (1 − φ)n formam outra base para o espaço.

Ajustando os coeficientes para obter os valores iniciais adequados F(0) = 0 e F(1) = 1, tem-se a fórmula de Binet:

Este resultado também pode ser derivado utilizando-se a técnica de funções geradoras, ou a técnica de resolver relações de recorrência.

Quando n tende a infinito, o segundo termo tende a zero, e os números de Fibonacci tendem à exponencial φn/√5. O segundo termo já começa pequeno o suficiente para que os números de Fibonacci possam ser obtidos usando somente o primeiro termo arredondado para o inteiro mais próximo.

Fórmula de Binet e o Binômio de Newton

Se expandirmos a Fórmula de Binet usando o Binômio de Newton, é possível também escrevê-la em termos racionais, ou seja, nessa forma:

a) Se for ímpar:

b) Se for par:
Ou ainda, de modo equivalente:

onde ⌊ ( n − 1 ) / 2 ⌋ representa a parte inteira de (n-1)/2.

Tipos de algoritmos
Há diversos algoritmos (métodos) para calcular o  n-ésimo elemento da sequência de Fibonacci, sendo que os mais comuns empregam um das seguintes abordagens:

Recursiva
Iterativa
Dividir para conquistar
A seguir é apresentado um exemplo de cada um destes tipos de algoritmos em pseudocódigo.

Abordagem recursiva
A própria definição da sequência de Fibonacci pode ser tomada como base para implementar um algoritmo recursivo que gera os termos da sequência, como é mostrado a seguir:

Abordagem dividir para conquistar
O algoritmo abaixo é bem mais eficiente e baseia-se na representação matricial da sequência de Fibonacci.

Aplicações
Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.

Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.

Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal (veja coeficiente binomial).

Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele só é útil para aproximações bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ).

Exemplo de sons Fibonacci
Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.

Le Corbusier usou a sequência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura.

Em The Wave Principal, Ralph Nelson Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.

Teorias mais recentes, defendem que é possível encontrar relações “de ouro” entre os pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo:

Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O ciclo, naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar momentos de vale, e vice-versa.

A Sequência de Fibonacci na natureza

A sequência de Fibonacci está intrinsecamente ligada à natureza. Estes números são facilmente encontrados no arranjo de folhas do ramo de uma planta, em copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores.

As sementes das flores, frutos e, de forma particularmente interessante, as pinhas, trazem no seu escopo natural esta sequência. Como esta proporção trata-se de uma sucessão numérica, é possível perceber, em vários traços notáveis, a manifestação desta em muitos aspectos da natureza de maneira estética e funcional. Tal linha de análise é, muitas vezes, utilizada como base explicativa para a teoria criacionista denominada Design Inteligente.

Nautilus

Na espiral do nautilus, por exemplo, pode ser facilmente percebida a sequência de Fibonacci. A composição de quadrados com lados de medidas proporcionais aos números da sequência mostram a existência desta sucessão numérica nesta peça natural.

O primeiro quadrado terá os lados com medida 1, o segundo também, o terceiro terá os seus lados com medida 2, o quarto com medida 3, o quinto com medida 5, o sexto com medida 8 e, assim, sucessivamente.

Anatomia humana – dentição

Vistos frontalmente, os dentes anteriores estão na proporção áurea entre si. Por exemplo, a largura do incisivo central está proporcional à largura do incisivo lateral, assim como o incisivo lateral está proporcional ao canino, e o canino ao primeiro pré-molar.

O segmento “incisivo central até o primeiro pré-molar” se encontra na proporção áurea em relação ao canto da boca (final do sorriso). A altura do incisivo central está na proporção áurea em relação à largura dos dois centrais Na face relaxada, a linha dos lábios divide o terço inferior da face nos segmentos da proporção áurea: “da ponta do nariz à linha dos lábios” e “da linha dos lábios até o queixo” (retângulo de ouro).

A espiral

Na espiral formada pela folha de uma bromélia, pode ser percebida a sequência de Fibonacci, através da composição de quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência, por exemplo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… , tendentes à razão áurea. Este mesmo tipo de espiral também pode ser percebida na concha do Nautilus marinho.

Arranjos nas folhas

Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares uniformemente. Esta formação, em caso de chuva, também facilita o escoamento da água na planta.

Reprodução das abelhas

A seqüência de Fibonacci descreve perfeitamente a reprodução das abelhas. Recentemente, uma análise matemática-histórica do contexto e da proximidade com a cidade de “Bejaia” (que é derivado da versão francesa do nome desta cidade, ou seja “Bougie”, que significa “vela” em francês), importante exportadora de cera na época de Leonardo de Pisa, sugeriu ele, fez o que realmente a abelha-produtores de Bejaia e o conhecimento das linhagens de abelhas que inspirou os números da seqüência de Fibonacci, em vez de o modelo de reprodução de coelhos.

A Sequência de Fibonacci no cinema

O filme Pi de Darren Aronofsky apresenta várias referências à sequência de Fibonacci. Seu protagonista é Maximillian “Max” Cohen (Sean Gullette), um matemático brilhante e atormentado que tenta decodificar o padrão numérico do mercado de ações. Em uma cena, Max desenha quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência de Fibonacci e os sobrepõe ao desenho do Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci, trazendo-lhe certezas às suas convicções de que a matemática é a linguagem da natureza. Em outra cena, Max apanha uma concha em uma praia e observa a espiral nela descrita. Em outro trecho do filme, Max encontra o judeu Lenny Meyer, que lhe fala da crença em que a Torah seria uma sequência de números que formam um código enviado por Deus, quando entendidas as correspondências entre as letras do alfabeto hebraico a números. Max diz que alguns dos conceitos apresentados por Lenny são similares a uma sequência de Fibonacci.

A sequência também é tema de um episódio da série Touch da Rede FOX e de Criminal Minds, no canal AXN.

Em O Código Da Vinci, a sequência de Fibonacci foi usada como um código, mas também para confundir os personagens.

 

PascalTriangleFibanacci

Como a proporção área.

Nautilus

Young–Fibonacci lattice abaixo:

 

Codigo C++

#include <stdio.h>
   2 
   3 int fib(int n)                             
   4 {                                          
   5   int i, fib1 = 1, fib2 = 1, soma;         
   6   for (i = 3; i <= n; i = i + 1)           
   7   {                                        
   8     soma = fib1 + fib2;                    
   9     fib1 = fib2;                           
  10     fib2 = soma;                           
  11   }                                        
  12   return fib2;                             
  13 }                                          
  14 
  15 int main(void)
  16 {
  17   int n;
  18   scanf("%d", &n);
  19   printf("%d\n", fib(n));
  20   return 0;
  21 }

Javascript

function fibonacci(num){
var a = 1, b = 0, temp;
while (num >= 0){
temp = a;
a = a + b;
b = temp;
num;
}
return b;
}

Tipos de algoritmos

Há diversos algoritmos (métodos) para calcular o -ésimo elemento da sequência de Fibonacci, sendo que os mais comuns empregam um das seguintes abordagens:

  • Recursiva
  • Iterativa
  • Dividir para conquistar

     

Os artistas Michelangelo e Leonardo da Vinci aplicaram em suas obras a proporção de ouro, enfatizando em suas artes o número constante 1,6. Da Vinci observou a presença do número de ouro no corpo humano, realizando as seguintes medições:

Altura da pessoa dividida pela altura do umbigo em relação ao solo.

Medida inteira da perna dividida pela altura do joelho até o solo.

Medida do braço inteiro divida pelo tamanho do cotovelo até o dedo.

Medida do dedo inteiro dividida pelo tamanho da dobra central até a ponta.

A Mitologia e a Verdade da Razão de Ouro

Pirâmides do Egipto:

fibonacci-design-pyramid2

Fonte: google

Autor: Renato de Oliveira Lucena – 2018

Renato Lucena

Developer PHP, Laravel. Goiania-GO https://www.linkedin.com/in/renato-de-oliveira-lucena-33777133/

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